7.1. Применение логики предложениЗ к математическим наукам.

Мы докажем теорему:

[(х + z) = {у + z)] ->- (х = у).

Эта теорема носит название закона сокращения и позволяет сокращать выражения вида х + z = у + z, опуская встречающийся в обеих частях равенства одинаковый член (слагаемое), и получать выражение вида х = у (эквивалентное сокращаемому). Мы эту теорему получим из следующих теорем, которые в алгебре играют роль посылок:

АО. х + у = у + х — закон коммутативности (перестановочности).

і і

А1. (х + у) + z = х + (у + z) — закон ассоциативности (сочетательности).

А2. х + (— х) = 01 — законы, характеризующие нуль A3. О + х = х j и минус.

А4. (х = у) —> l(x + v) = (у + у)]^ —законы, харак-

А5. [(х = у) и (у = z)] (х = z)\ теризующие ра-

венство чисел.

Из этих посылок мы в ходе доказательств будем получать все новые и новые теоремы, пользуясь законами логики предложений и правилом подстановки. Это последнее правило, применяемое в математике, логике и многих других науках, позволяет из имеющегося общего закона, сформулированного в общем виде при помощи переменных, посредством замены входящих в этот закон переменных некоторыми другими переменными или же целыми более сложными выражениями (обозначающими, например, числа, если переменная представляла собой символ произвольного числа) получать некоторые другие выражения (обозначающие, например, также числа).

Т1. (X + z = у) -> 1(х + z) + V = у + и].

Аналогично мы можем, например, подставить в Т1 вместо у выражение у + z и получить теорему:

Т2. (х + s = у + z) [(х + z ) + v = (у + z) + V].

В дальнейшем при подстановке выражения А вместо переменной х мы будем использовать сокращенное обо-значение: х/А.

ТЗ. (х + z = у + z) [(* + z) + (-*) = (?+"*)+ I

+ (-*)]. I

TQ Х^ТТЛГ^™™ „о Ф9 гглтглтлттлп^лй „// '

ТЗ получаем из Т2 подстановкой v/(—z).

Т4. (x + z) + (-z) = * + [* + (- z) 1.

Т4 вытекает из А1 посредством подстановок y/z, z/(—z).

Т5. z + (-*) = 0. Т5 получаем из А2 подстановкой x/z. Т6. х + [z + (- z)] = [« + (_ z)] + х. Т6 получаем из АО подстановкой y/z + (—2). Т7. z -f (— z) = 0 [z + (— z)] -)- ж = 0 + я.

T7 получаем из А4 посредством подстановок xiz + (— z), у/0, v/x.

ТВ. [« + ,(- «)] +х « 0 + *.

Т8 получаем из Т5 и Т7 при помощи правила отделения. Т9. {{[z + (-z)) + х = 0 + х}

и {0 + х = х}} -> {[2 + (- z)] + X = *}.

Т9 получаем из А5 путем соответствующей подстановки.

Т10. {[« + (— «)] + ж = 0 + х) и (0 + X = X).

Эту теорему получаем из теоремы логики предложений: р [q ->- (р и q)], подставляя в эту теорему вместо р формулу [z + (— z)] + х = 0 + х и вместо q — формулу 0 + х = х, затем применяя дважды правило отделения, сначала в примении к теореме Т8, а затем к условию A3.

Til. [z + (— z)\ + я = я.

ТИ получаем из теорем Т9 и Т10 при помощи правила отделения.

Т12. {{х + [* + (- z)\ = [* + (- z)} + х}

и {[Z + (-*)] + X = х}} {х + [Z + (- Z)] = х).

Т12 получаем из А5 посредством соответствующей подстановки.

Т13. {х + [z + (- z)\ = [* + (- z)] + х)

и {[z + (— z)] + X = х).

Т13 мы получаем из теоремы логики предложений р [q (Р и д)] посредствохм подстановок р/Тб, g/Til и затем дважды применяем правило отделения.

Т14.

Т14 мы получаем из Т12 и Т13 посредством правила отделения.

Т15. {(х + z) + (-z)=x + [z + (- z)]}

и {х + [Z + (- Z)] [(х + Z) + (- Z) « X].

Т15 мы получаем из А5 посредством соответствующих подстановок.

Т16. {(х + z) + (- z) = X + [z + (- z)]}

и {x + [z + (— z)] = x).

T16 мы получаем из теоремы логики предложений

р [?-> ІР и q)] *

посредством подстановок р/Т4, д/Т14 и правила отделения, примененного дважды.

Т17. (х + z) + (— z) = х.

Т17 мы получаем из Т15 и Т16 посредством правила отделения.

Т18. (у + z) + (- z) = у.

Т18 получается из Т17 посредством подстановки х!у. До этого времени мы использовали только одну очень простую теорему логики предложений, а теперь используем формулу: (р j) -> {[(g и г) —> s] —>- [р —>- (г —>• s)]}.

Эта формула после сокращенной проверки оказывается теоремой. Поэтому подставим в неер/(у = х), q!(x = у), г!(у = z), = z). После такой подстановки условие формулы совпадает с А6. Применим правило отделения. Условие полученной формулы совпадает с А5. Снова применим правило отделения, получаем теорему:

Т19. (у = х) [(у = z)^(x = z)].

Т20. [(* + 2) + (- z) - *] {[(х + z) + (- z) =

= (У + z) + {- z)] ->lx = (y + z) + (-z)]}.

T20 получается из T19 посредством подстановок у![{х + Z) + (- 2)], z/l(y + «) + (- *)]. Т21. [(ж + 2)+(-2)=(г/+ 2)+(_z)]_v [х =(у + г) + (-z)].

Т21 получается из Т20 и Т17 посредством правила отделения.

Т22. (х + z = у + z)-+[x = (у + z) + (- «)].

Т22 получаем из следующей теоремы логики предложений: (р q) [(g -> г) -*- (р -*• г)], подставляя

pllx + я = у + z), q/Цх + z) + (- а) = (у + z) +(- z)),

П\х = {у + z) + (- z)),

и затем дважды применяя правило отделения сначала к ТЗ, затем к Т21.

Т23. їх = (у + z) + (- z) и (у + z) + (- z) - у]

(х = У)-

Т23 получается из А5 посредством подстановок: «/», У'1<1/ + *) + (- z)).

T24. [a: = (у + z) + (- z)] (x = y).

T24 получается из теоремы логики предложений: р (К'" и р) q] (г-> д)}.

[(х + z) = (y + z)\ (х = у)

— доказываемая нами теорема. Ее мы получим из теоремы логики предложений: (р г) (р г)]

посредством подстановок р/(х + z = У + z)> Q^lx — = (у + z) + (— z)], r/(x = у) и посредством двукратного применения правила отделения: сначала к Т22, а затем к Т24.

Само собой разумеется, что при изучении математики такие простые доказательства не проводятся так скрупулезно. Мы доверяемся логической интуиции, которая у математиков обычно выработана основательно. Доказательство высказанной теоремы вообще достаточно записать в следующей форме:

(х + z = у + Z) [(X + Z) + (- Z) = (у + Z) + + (- *)];

(* + *) + (—*)=* + [z + (—z)\ = X + 0 = х;

(у + z) + (- z) = у + [z + (- z)\ - у + 0 - у;

(х + z = у + z) х = г/,

поскольку законы замены равного равным считаются очевидными, равно как и законы логики предложений, необходимые для этого доказательства.Но при необходимости правильного проведения значительно более трудных мате-матических доказательств зачастую приходится ссылаться да соответствующие законы логики. И все-таки для прове* дения наиболеее трудных (сложных) математических доказательств одних только законов логики предложений совершенно недостаточно. При помощи одних только законов логики предложений даже в элементарной алгебре можно доказывать тол ько очень простые теоремы. Например, всякое решение уравнений посредством формул, выражающих решения в радикалах, обычно выводится таким простым способом, что вывод можно проводить с помощью зако-нов логики предложений. Так называемое решение уравнения первой степени, например, Ах — 20 = 0, является доказательством эквивалентности вида

(4х - 20 = 0) = (х = 5).

Решение же уравнения второй степени, например, х2 — 1х + 12 = 0, является доказательством эквивалентности:

(х2 — 7х + 12 = 0) = (х = 3 или X = 4).

Вообще же можно сказать, что вся математика в общих чертах, грубо говоря, имеет вид такой совокупности доказательств, с помощью которых из различных законов логики и математических аксиом выводятся различные конк-ретные теоремы. Поскольку вывод теорем из условий мы называем дедуктивным рассуждением (от латинского слова «deduco», означающего «вывожу» или «вытягиваю»), то науки, в которых такое рассуждение играет основную роль, мы называем дедуктивными науками. Алгебра, геометрия и все другие разделы математики являются, таким образом, дедуктивными науками. Мы можем поэтому вообще сказать, что логика применяется прежде всего к построению рассуждений в дедуктивных науках.