5.4. Таблица для импликации.

Какие значения истинности принимают посылка и заключение импликации, когда импликация признается истинной?

Всегда ли при данных значениях истинности посылки и заключения импликация признается истинной?

Чтобы правильно ответить сначала на первый вопрос, мы рассмотрим два примера, один — из повседневной жиз-ни, другой —из математики.

(а) Если улучшишь качество продукции, то получишь премию,

Какие тут могут быть случаи? Так, например, качество продукции улучшено и премия получена. Тогда видно, что руководитель сдержал свое обещание, т. е. импликация, которую он высказал, истинна. Если же качество улучшено, а премия не получена, то руководителю будет предъявлена претензия, что он не сдержал обещания, т. е. что его обещание оказалось ложным. При отсутствии улучшения качества и неполучении премии, очевидно, никакой претензии руководителю предъявить нельзя, поскольку не выполнено поставленное для этого условие. Хотя руководитель премии и не выдал, но обещания своего при этом он не нарушил, даже можно считать, что обещание выполнено им, хотя он ничего не делал для его выполнения, поскольку, так как рабочий не улучшил качества, то это освобождает руководителя от обещания премировать его. Наконец, может оказаться, что, несмотря на то, что качество рабочим не улучшено, руководитель может выдать рабочему премию за другие заслуги, поскольку не было обещания о премировании только за улучшение. Было обещано, что при улучшении качества премия будет непременно, но она может быть и в других случаях. Поэтому руководитель может премировать и при отсутствии улучшения качества, не входя в противоречие со своим обещанием. Поэтому решение (обещание) руководителя оказывается истинным предложением также и в том случае, когда качество продукции не улучшено, но премия получена.

Возьмем еще один пример (с истинной математической импликацией):

Если число х делится на 6, то число х делится на 2.

Подставим вместо числа х любое натуральное число, например 4, 12, 17, так как мы имеем право на такую подстановку. Тогда мы получим предложения;

Если 4 делится на 6, то 4 делится на 2.

Если 12 делится на 6, то 12 делится на 2.

Если 17 делится на 6, то 17 делится на 2.

Если мы признали предложение 1) как общую математическую теорему, то мы должны признать предложения

—4) его частными случаями (подстановками). Рассмотрим подробнее эти предложения. Каждое из них является истинной импликацией. В предложении 2) условие (по-сылка), или предложение «4 делится на 6»,— ложное предложение, а следствие «4 делится на 2» — истинное предложение. Импликация с ложной посылкой и истин-ным заключением оказывается истинной. В предложении

посылка «12 делится на 6» — истинное предложение. Заключение «12 делится на 2» также истинно. Импликация с истинными посылкой и заключением истинна. В предложении 4) ложна посылка «17 делится на 6» и ложно заключение «17 делится на 2». Импликация с ложными посылкой и заключением также истинна. Когда же приведенная импликация оказывается ложной? Это было бы тогда, когда нашлось бы такое число х, которое делилось бы на 6 и не делилось на 2. Если бы такое число х было найдено, то сразу же следовало бы отбросить нашу общую теорему. Следовательно, мыпризнали бы импликацию ложной только тогда, когда оказалось бы, что ее посылка истинна, ноаак- лк>чениеложно.[Нотакого числа, для которого предложение ьх делится на 6» было бы истинным, а предложение «х делится на 2» было бы ложным, не существует, поэтому и импликация 1) истинна. Этот математический пример показывает нам также, что импликация ложна тогда, когда ее посылка истинна, а заключение ложно.

Нам остается разрешить только второй вопрос, именноз всегда ли импликация должна быть признана истинной, если только оба ее члена либо истинны, либо ложны, либо же если первый ее член является ложным, а второй — истинным. Здесь положение подобно тому, какое мы имели при рассмотрении вопроса о разобранных выше логических союзах. В умозаключениях повседневной жизни и в науке мы пользуемся только такими импликациями, в которых предыдущий и последующий члены связаны по содержанию, причем эта связь затрудняет нам дальнейшее ее уточнение, определение. Импликации же, в которых нет этой связи, вообще не имеют значения в умозаключениях. По этим соображениям мы ими не пользуемся и нам трудно выработать определенное отношение к ним. По этой же причине это отношение мы можем определить по соб-ственному выбору. Оказывается, что логическая практика не противодействует тому, чтобы в тех случаях, когда посылка и заключение импликации являются произвольными осмысленными предложениями и оба являются одновременно истинными или одновременно ложными, или же когда посылка ложна, а заключение истинно, независимо от содержания посылки и заключения считать имплика-цию истинной. В этом случае, как и в случаях разобранных уже союзов, логическая практика показывает, что такое соглашение не приводит ни к каким неправильным результатам, но упрощает характеристику союза и приводит к тому, что импликация становится надежным инструментом в различных логических исследованиях, в особенности таких, которые лежат в основании математики. *

Объединяя оба рассуждения, мы, следовательно, може* сказать, что импликация является ложной в том и только в том случае, когда ее посылка истинна, а заключение ложно.

В согласии с этим истинны следующие импликациаі

d) Если 2-2 = 4, то Варшава лежит на Висле.

Если Варшава лежит на Сене, то 2-2 = 4.

Если Варшава лежит на Сене, то 2«2 =5.

Если войн больше не будет, то слоны живут в Африке.

Если Варшава лежит на Сене, то войн больше не будет.

Обратим внимание на предложения 4) и 5).

Если 2*2 =4, то Варшава лежит на Сене.

Если Варшава лежит на Висле, то Луна сделана из теста.

В предложениях 6) и 7) посылки истинны, а заключения ложны. Заметим еще раз, что те импликации, в которых посылки и заключения являются предложениями без взаимной (по существу) связи, не могут играть в науке более или менее важной роли. Они являются совершенно бесплодными предложениями. Они не ведут ни к ложным выводам, ни к истинным выводам более глубокого содержания. Большинство научных теорем являются имплика-циями, но ни одна теорема не является такой имплика-цией, в которой посылка и заключение не были бы связаны по содержанию. Такие теоремы не представляли бы интереса. Разобранную нами характеристику импликации можно записать также в форме таблицы. V ч p~+q 1 1 1 0 1 1 1 0 о 0 0 1

U

В этой таблице для сокращенной записи примем обще-употребительное сокращение оборота «если р> то д» через

<<р д».

Если р = 1 и g = 1, то (р д) = 1.

Если р = 1 и д = 0, то (р д) = 0.

Если р = 0 и д = 1, то (р —д) = 1.

Если р = 0 и д = 0, то (р д) = 1.