5. Основные свойства простейших цепей переменного тока

Зададимся изменением тока в резисторе по синусоидальному закону

i(t) = I_mR sin(ωt + ψ_i).

Воспользуемся законом Ома для мгновенных значений тока и напряжения

u(t) = R i(t)

и получим

u(t) = R I_mR sin(ωt + ψ_i).

Фазы напряжения и тока в резисторе совпадают. Графически это представлено на временной диаграмме и на комплексной плоскости:

2) Участок цепи, содержащий идеальную индуктивность

Изменение тока в индуктивности происходит по синусоидальному закону

i(t) = I_mL sin(ωt + ψ_i).

u_L(t) = ωL · I_mL sin(ωt + ψ_i + 90°).

Фаза тока в индуктивности отстает от фазы напряжения на 90°. Величину X_L = ωL в уравнении называют индуктивным сопротивлением. Единицей его измерения является Ом. Графически электрические процессы в индуктивности представлены на рисунке:

3) Участок цепи, содержащий ёмкость

Рис. 2.12

Зададим изменение тока в емкости по синусоидальному закону

i(t) = I_mC sin(ωt + ψ_i).

U_C = 1 / (ωC) · I_C.

Фаза напряжения в емкости отстает от фазы тока на 90°. Величину X_C = 1 / (ωC) в уравнении называют емкостным сопротивлением цепи и измеряют его в Омах. Графически электрические процессы в емкости представлены на рисунке:

4) Сопротивления в цепи переменного тока

В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение

Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.

Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное Х_L и емкостное Хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула X_L = ωL. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина Х_L линейно зависит от частоты.

Для емкостного сопротивления выше была получена формула X_C = 1 / ωC. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина Хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = X_L - X_C.

Полное сопротивление. Полным сопротивлением цепи называют величину

.

Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

φ = arctg((X_L - X_C) / R),

и называют углом сдвига фаз. 5) Мощности в цепях переменного тока

По аналогии с мощностью в цепях постоянного тока P = U I, в цепях переменного тока рассматривают мгновенную мощность p = u i.

Напряжение и ток будет виде соотношений:

u(t) = U_m sin(ωt + ψ_u),

i(t) = I_m sin(ωt + ψ_i).

Если записать U_m и I_m через действующие значения U и I: , , то получим

P = U I.

Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).

Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину Q_L равную максимальному значению р_L

Q_L = (U_m I_m) / 2

и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение можно записать через действующие значения U и I

Q_L = I² X_L. Элемент С (ёмкость)

По аналогии вводят величину Q_C = I² X_C, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.

Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями

P = U I cos φ,

Q = Q_L - Q_C,

Q = U I sin φ,

где φ – угол сдвига фаз.

Вводят понятие полной мощности цепи

.

Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер. 6) Цепь с последовательным соединением элементов

Проведем анализ работы электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.

Положим, что в этой задаче заданы величины R, L, С, частота f, напряжение U.

1. Определение сопротивлений.

Реактивные сопротивления элементов L и С находим по формулам

X_L = ωL, X_C = 1 / ωC, ω = 2πf.

Полное сопротивление цепи равно

,

угол сдвига фаз равен

φ = arctg((X_L - X_C) / R),

2. Нахождение тока. Ток в цепи находится по закону Ома

I = U / Z, ψ_i = ψ_u + φ.

Фазы тока и напряжения отличаются на угол φ.

3. Расчет напряжений на элементах. Напряжения на элементах определяются по формулам

U_R = I R, ψ_uR = ψ_i ;

U_L = I X_L, ψ_uL = ψ_i + 90° ;

U_C = I X_C, ψ_uC = ψ_i - 90°.

Для напряжений выполняется второй закон Кирхгофа в векторной форме.

U = U_R + U_L + U_C.

4. Анализ расчетных данных. В зависимости от величин L и С возможны следующие варианты:

X_L > X_C; X_L < X_C; X_L = X_C.

Для варианта X_L > X_C угол φ > 0, U_L > U_C. Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид:

Для варианта X_L < X_C угол φ < 0, U_L < U_C. Ток опережает напряжение на угол φ. Цепь имеет активно-емкостный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид:

Для варианта X_L = X_C угол φ = 0, U_L = U_C. Ток совпадает с напряжением.

Этот режим называется резонанс напряжений (U_L = U_C). Напряжения на элементах U_L и U_C могут значительно превышать входное напряжение. 7) Цепь с параллельным соединением элементов

Рассмотрим следующую схему.

Положим, что заданы величины R₁, R₂, L, С, частота f и входное напряжение U. Требуется определить токи в ветвях и ток всей цепи.

В данной схеме две ветви. Согласно свойству параллельного соединения, напряжение на всех ветвях параллельной цепи одинаковое, если пренебречь сопротивлением подводящих проводов.

Задача разбивается на ряд этапов

1. Определение сопротивлений ветвей.

Реактивные сопротивления элементов L и С определяем по формулам

X_L = ωL, X_C = 1 / ωC, ω = 2πf.

Полное сопротивление ветвей равны

, ,

соответствующие им углы сдвига фаз

φ₁ = arctg(X_L / R₁), φ₂ = arctg(X_С / R₂).

2. Нахождение токов в ветвях.

Токи в ветвях находятся по закону Ома

I₁ = U / Z₁, ψ_i1 = ψ_u + φ₁, I₂ = U / Z₂, ψ_i2 = ψ_u + φ₂.

3. Нахождение тока всей цепи.

Ток всей цепи может быть найден несколькими методами: графическим, методом мощностей, методом проекций и методом проводимостей.

Чаще всего используют метод проекций и метод проводимостей.

Активные составляющие токов равны

I_1а = I₁ cos φ₁, I_2а = I₂ cos φ₂,

I_а = I_1а + I_2а.

Реактивные составляющие токов равны

I_1р = I₁ sin φ₁, I_2р = I₂ sin φ₂,

I_р = I_1р - I_2р.

В последнем уравнении взят знак минус, поскольку составляющие I_1р (индуктивная) и I_2р (емкостная) направлены в разные стороны от оси U.

Полный ток находится из уравнений

,

φ = arctg(I_р / I_а).

8) Повышение коэффициента мощности в электрической цепи

Активная мощность потребителя определена формулой

P = U I cos φ.

Величину cos φ здесь называют коэффициентом мощности. Ток в линии питающей потребителя с заданной мощностью Р равен

I = P / (U cos φ).

и будет тем больше, чем меньше cos φ. При этом возрастают потери в питающей линии. Для их снижения желательно увеличивать cos φ. Большинство потребителей имеет активно-индуктивную нагрузку. Увеличение cos φ возможно путем компенсации индуктивной составляющей тока путем подключения параллельно нагрузке конденсатора:

Расчет емкости дополнительного конденсатора для обеспечения заданного cos φ проводится следующим образом. Пусть известны параметры нагрузки P_н, U и I_н . Можно определить cosφ_н

cos φ_н = P / (U I_н).

Подключение емкости не изменяет активную составляющую нагрузки

I_на = I_н cos φ_н = P_н / U

Реактивная составляющая нагрузки I_нр может быть выражена через tg φ_н

I_нр = I_на tg φ_н.

При подключении емкости величина I_нр уменьшается на величину I_C.

Если задано, что коэффициент мощности в питающей линии должен быть равен cos φ, то можно определить величину реактивной составляющей тока в линии

I_р = I_а tg φ.

Уменьшение реактивной составляющей нагрузки с I_нр до I_р определяет величину тока компенсирующей емкости

I_C = I_нр - I_р = I_а (tg φ_н - tg φ).

Для емкости конденсатора имеем

C = P_н / ωU² · (tg φ_н - tg φ).

Для больших значений P_н величина емкости C может оказаться слишком большой, что технически трудно реализовать. В этом случае используют синхронные компенсирующие машины. 9) Компенсирующие устройства реактивной мощности

Батареи конденсаторов (БК) — это специальные емкостные КУ, предназначенные для выработки реактивной мощности. В настоящее время выпускаются комплектные конденсаторные установки (ККУ) серии УК-0,38 напряжением 380 В мощностью 110...900 кварисери и УК-6/10 мощностью 450... 1800 квар. В системах электроснабжения предприятий используются синхронные машины всех видов. Наиболее широкое применение находят синхронные двигатели (СД), которые используются в приводах производственных машин и механизмов, не требующих регулирования частоты вращения.

Синхронные генераторы (СГ) обладают, как и СД, плавным и автоматическим регулированием генерируемой реактивной мощности в функции напряжения сети. В отличие от СД передача реактивной мощности от СГ может осуществляться на значительное расстояние (даже от СГ собственных электростанций предприятий). Поэтому использование генераторов в качестве источников реактивной мощности ограничивается технико-экономическими условиями режима энергосистемы.

Синхронные компенсаторы (СК) представляют собой синхронные электрические машины, работающие в режиме двигателя без нагрузки на валу. Они предназначены специально для выработки реактивной мощности. Удельная стоимость вырабатываемой мощности, руб./квар, и удельные потери, кВт/Мвар, для СК значительно больше, чем для СД, так как удельные стоимость и потери целиком приходятся на реактивную мощность; кроме того, добавляются расходы на эксплуатацию СК. При большом дефиците реактивной мощности в точке подключения потребителей, когда требуется плавное и быстродействующее средство регулирования напряжения, оказывается выгодным ввод СК.

К недостаткам СК относятся: повышенные потери активной мощности; большие масса и вибрация, из-за чего синхронные компенсаторы необходимо устанавливать на массивных фундаментах;

необходимость применения водородного или воздушного охлаждения с водяными охладителями;

необходимость постоянного дежурства эксплуатационного персонала на подстанциях с синхронными компенсаторами;

невозможность (в отличие от БК) наращивания мощности в процессе роста нагрузок.